Intégrale de $$$\sin^{2}{\left(\theta \right)}$$$

Déterminez $$$\int \sin^{2}{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$.

Appliquer la formule de réduction de puissance $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$ avec $$$\alpha=\theta$$$:

$${\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}\right)d \theta}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(\theta \right)} = 1 - \cos{\left(2 \theta \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}\right)d \theta}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 \theta \right)}\right)d \theta}}{2}\right)}}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 \theta \right)}\right)d \theta}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d \theta} - \int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}\right)}}}{2}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, d\theta = c \theta$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \frac{\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d \theta}}}}{2} = - \frac{\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}{2} + \frac{{\color{red}{\theta}}}{2}$$

Soit $$$u=2 \theta$$$.

Alors $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$d\theta = \frac{du}{2}$$$.

Ainsi,

$$\frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}}}{2} = \frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{\theta}{2} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

Rappelons que $$$u=2 \theta$$$ :

$$\frac{\theta}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{\sin^{2}{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sin^{2}{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4}+C$$

$$$\int \sin^{2}{\left(\theta \right)}\, d\theta = \left(\frac{\theta}{2} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4}\right) + C$$$A