Intégrale de $$$e^{- \frac{x}{5}}$$$

Déterminez $$$\int e^{- \frac{x}{5}}\, dx$$$.

Soit $$$u=- \frac{x}{5}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{x}{5}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{5}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - 5 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- 5 e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-5$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- 5 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 5 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 5 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 5 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{x}{5}$$$ :

$$- 5 e^{{\color{red}{u}}} = - 5 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{5}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- \frac{x}{5}} d x} = - 5 e^{- \frac{x}{5}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- \frac{x}{5}} d x} = - 5 e^{- \frac{x}{5}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{5}}\, dx = - 5 e^{- \frac{x}{5}} + C$$$A