Intégrale de $$$e^{- 2 x}$$$

Déterminez $$$\int e^{- 2 x}\, dx$$$.

Soit $$$u=- 2 x$$$.

Alors $$$du=\left(- 2 x\right)^{\prime }dx = - 2 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{- 2 x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=- 2 x$$$ :

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 2 x\right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- 2 x} d x} = - \frac{e^{- 2 x}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- 2 x} d x} = - \frac{e^{- 2 x}}{2}+C$$

$$$\int e^{- 2 x}\, dx = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$$$A