Intégrale de $$$7 x \sin{\left(x \right)}$$$

Déterminez $$$\int 7 x \sin{\left(x \right)}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=7$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{7 x \sin{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(7 \int{x \sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x \sin{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(x \right)} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(x \right)} d x}=- \cos{\left(x \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Donc,

$$7 {\color{red}{\int{x \sin{\left(x \right)} d x}}}=7 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \cos{\left(x \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=7 {\color{red}{\left(- x \cos{\left(x \right)} - \int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$ :

$$- 7 x \cos{\left(x \right)} - 7 {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)d x}}} = - 7 x \cos{\left(x \right)} - 7 {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$ :

$$- 7 x \cos{\left(x \right)} + 7 {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = - 7 x \cos{\left(x \right)} + 7 {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{7 x \sin{\left(x \right)} d x} = - 7 x \cos{\left(x \right)} + 7 \sin{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{7 x \sin{\left(x \right)} d x} = - 7 x \cos{\left(x \right)} + 7 \sin{\left(x \right)}+C$$

$$$\int 7 x \sin{\left(x \right)}\, dx = \left(- 7 x \cos{\left(x \right)} + 7 \sin{\left(x \right)}\right) + C$$$A