Intégrale de $$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx$$$.

Soit $$$x=\sin{\left(u \right)} \left|{a}\right|$$$.

Alors $$$dx=\left(\sin{\left(u \right)} \left|{a}\right|\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} \left|{a}\right| du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$.

L’intégrande devient

$$$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{- a^{2} \sin^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{- a^{2} \sin^{2}{\left( u \right)} + a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} \left|{a}\right|} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)} \left|{a}\right|}$$$

L’intégrale peut se réécrire sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$$ :

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)} + C$$$A