Intégrale de $$$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx$$$.

Compléter le carré (voir les étapes ») : $$$x^{2} + 2 x + 2 = \left(x + 1\right)^{2} + 1$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} + 1} d x}}}$$

Soit $$$u=x + 1$$$.

Alors $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=x + 1$$$ :

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(x + 1\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 2 x + 2} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}\, dx = \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} + C$$$A