Intégrale de $$$\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\, dx$$$.

Réécrivez le terme linéaire sous la forme $$$x - 1=x\color{red}{+\frac{1}{2}- \frac{1}{2}}-1=x+\frac{1}{2}- \frac{3}{2}$$$ et décomposez l'expression:

$${\color{red}{\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} d x} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}\right)}}$$

Soit $$$u=x^{2} + x + 1$$$.

Alors $$$du=\left(x^{2} + x + 1\right)^{\prime }dx = \left(2 x + 1\right) dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\left(2 x + 1\right) dx = du$$$.

Par conséquent,

$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{x + \frac{1}{2}}{x^{2} + x + 1} d x}}} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ :

$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=x^{2} + x + 1$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} + x + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} + \int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=- \frac{3}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{3}{2 \left(x^{2} + x + 1\right)}\right)d x}}} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{\frac{1}{x^{2} + x + 1} d x}}{2}\right)}}$$

Compléter le carré (voir les étapes ») : $$$x^{2} + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + x + 1} d x}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}} d x}}}}{2}$$

Soit $$$u=x + \frac{1}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(x + \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}} d x}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + \frac{3}{4}} d u}}}}{2}$$

Soit $$$v=\frac{2 \sqrt{3} u}{3}$$$.

Alors $$$dv=\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3}\right)^{\prime }du = \frac{2 \sqrt{3}}{3} du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = \frac{\sqrt{3} dv}{2}$$$.

Ainsi,

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + \frac{3}{4}} d u}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3}}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v^{2} + 1}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{3}}{3 \left(v^{2} + 1\right)} d v}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{3}\right)}}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

Rappelons que $$$v=\frac{2 \sqrt{3} u}{3}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(\frac{2 \sqrt{3} u}{3}\right)}} \right)}$$

Rappelons que $$$u=x + \frac{1}{2}$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{u}}}{3} \right)} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} {\color{red}{\left(x + \frac{1}{2}\right)}}}{3} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x + \frac{1}{2}\right)}{3} \right)}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right| \right)}}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{x^{2} + x + 1}\right|\right)}{2} - \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}\right) + C$$$A