Propriétés de l'hyperbole $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Déterminer le centre, les foyers, les sommets, les co-sommets, la longueur du grand axe, la longueur du demi-grand axe, la longueur du petit axe, la longueur du demi-petit axe, les latera recta, la longueur des latera recta (largeur focale), le paramètre focal, l’excentricité, l’excentricité linéaire (distance focale), les directrices, les asymptotes, les intersections avec l’axe des x, les intersections avec l’axe des y, le domaine et l’ensemble des valeurs de l’hyperbole $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

L’équation d’une hyperbole est $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, où $$$\left(h, k\right)$$$ est le centre, $$$a$$$ et $$$b$$$ sont les longueurs des demi-axes transverses et conjugués.

Notre hyperbole sous cette forme est $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Ainsi, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

La forme standard est $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

La forme canonique est $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

La forme générale est $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

L’excentricité linéaire (distance focale) est $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

L’excentricité est $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Le premier foyer est $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

Le second foyer est $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

Le premier sommet est $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Le second sommet est $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Le premier co-sommet est $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Le deuxième co-sommet est $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

La longueur du grand axe est $$$2 b = 4$$$.

La longueur du petit axe est $$$2 a = 6$$$.

Le paramètre focal est la distance entre le foyer et la directrice : $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Les latera recta sont les droites parallèles à l'axe mineur qui passent par les foyers.

Le premier latus rectum est $$$y = - \sqrt{13}$$$.

Le second latus rectum est $$$y = \sqrt{13}$$$.

Les extrémités du premier latus rectum peuvent être trouvées en résolvant le système $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de systèmes d'équations).

Les extrémités du premier latus rectum sont $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Les extrémités du second latus rectum peuvent être trouvées en résolvant le système $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de systèmes d'équations).

Les extrémités du second latus rectum sont $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

La longueur des latera recta (paramètre focal) est $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

La première directrice est $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

La seconde directrice est $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

La première asymptote est $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

La seconde asymptote est $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

Les points d'intersection avec l'axe des x peuvent être trouvés en posant $$$y = 0$$$ dans l'équation et en résolvant par rapport à $$$x$$$ (pour les étapes, voir calculateur d'intersections).

Puisqu’il n’y a pas de solutions réelles, il n’y a pas d’intersections avec l’axe des abscisses.

Les ordonnées à l'origine peuvent être trouvées en posant $$$x = 0$$$ dans l'équation et en résolvant par rapport à $$$y$$$ : (pour les étapes, voir calculateur d'intersections avec les axes).

intersections avec l'axe des ordonnées: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Forme/équation standard : $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Forme canonique/équation : $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Forme/équation générale : $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Première forme/équation foyer-directrice : $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Deuxième forme/équation foyer-directrice : $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Graphique : voir la calculatrice graphique.

Centre : $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Premier foyer : $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Second foyer : $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Premier sommet : $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Deuxième sommet: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Premier co-sommet : $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Second co-sommet : $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Longueur du grand axe (transverse) : $$$4$$$A

Longueur du demi-grand axe : $$$2$$$A.

Longueur du petit axe (conjugué): $$$6$$$A.

Longueur du demi-petit axe : $$$3$$$A.

Premier latus rectum: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Second latus rectum : $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Extrémités du premier paramètre focal : $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Extrémités du second latus rectum : $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Longueur des latera recta (largeur focale) : $$$9$$$A.

Paramètre focal : $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Excentricité : $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Excentricité linéaire (distance focale): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A

Première directrice : $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Seconde directrice : $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Première asymptote : $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Deuxième asymptote : $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

Intersections avec l'axe des abscisses: aucune intersection avec l’axe des abscisses.

ordonnées à l'origine : $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Domaine : $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Image: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.