$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Määritä $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Diagonalisoi ensin matriisi (vaiheista katso matriisin diagonalisaatiolaskin).

Koska matriisi ei ole diagonaalisoituva, kirjoita se diagonaalimatriisin $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ ja nilpotenttimatriisin $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$ summana.

Huomaa, että $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Tämä tarkoittaa, että $$$e^{N} = I + N$$$, eli $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Diagonaalimatriisin eksponentti on matriisi, jonka diagonaalialkiot ovat eksponentoituja: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Nyt $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Lopuksi kerro matriisit:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (ratkaisuvaiheet: katso matriisikertolaskin).

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A