Funktion $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]$$$ käänteisfunktio

Laske $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]^{-1}$$$ käyttämällä Gauss–Jordanin eliminointia.

Käänteismatriisin löytämiseksi laajenna matriisi yksikkömatriisilla ja suorita alkeisrivitoimituksia pyrkien saamaan vasemmalle puolelle yksikkömatriisin. Tällöin oikealle puolelle saadaan käänteismatriisi.

Siis laajenna matriisi yksikkömatriisilla:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 10 & 1 & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Jaa rivi $$$1$$$ luvulla $$$5$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Vähennä rivistä $$$2$$$ $$$10$$$ kertaa rivi $$$1$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 10 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 5 & -2 & 1\end{array}\right]$$$

Jaa rivi $$$2$$$ luvulla $$$5$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Vähennä rivistä $$$1$$$ $$$2$$$ kertaa rivi $$$2$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 1 & - \frac{2}{5}\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Olemme valmiit. Vasemmalla on yksikkömatriisi. Oikealla on käänteismatriisi.

Käänteismatriisi on $$$\left[\begin{array}{cc}1 & - \frac{2}{5}\\- \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & -0.4\\-0.4 & 0.2\end{array}\right].$$$A