Funktion $$$\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ käänteisfunktio

Laske $$$\left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ käyttämällä Gauss–Jordanin eliminointia.

Käänteismatriisin löytämiseksi laajenna matriisi yksikkömatriisilla ja suorita alkeisrivitoimituksia pyrkien saamaan vasemmalle puolelle yksikkömatriisin. Tällöin oikealle puolelle saadaan käänteismatriisi.

Siis laajenna matriisi yksikkömatriisilla:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Vähennä rivi $$$1$$$ rivistä $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 2 & -1 & 1\end{array}\right]$$$

Jaa rivi $$$2$$$ luvulla $$$2$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & -1 & 1 & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Lisää rivi $$$2$$$ riviin $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Olemme valmiit. Vasemmalla on yksikkömatriisi. Oikealla on käänteismatriisi.

Käänteismatriisi on $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.5\\-0.5 & 0.5\end{array}\right].$$$A