Funktion $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & -5\\3 & 7\end{array}\right]$$$ käänteisfunktio

Laske $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & -5\\3 & 7\end{array}\right]^{-1}$$$ käyttämällä Gauss–Jordanin eliminointia.

Käänteismatriisin löytämiseksi laajenna matriisi yksikkömatriisilla ja suorita alkeisrivitoimituksia pyrkien saamaan vasemmalle puolelle yksikkömatriisin. Tällöin oikealle puolelle saadaan käänteismatriisi.

Siis laajenna matriisi yksikkömatriisilla:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}-2 & -5 & 1 & 0\\3 & 7 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Jaa rivi $$$1$$$ luvulla $$$-2$$$: $$$R_{1} = - \frac{R_{1}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0\\3 & 7 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Vähennä rivistä $$$2$$$ $$$3$$$ kertaa rivi $$$1$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0\\0 & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & 1\end{array}\right]$$$

Kerro rivi $$$2$$$ luvulla $$$-2$$$: $$$R_{2} = - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & -3 & -2\end{array}\right]$$$

Vähennä rivistä $$$1$$$ $$$\frac{5}{2}$$$ kertaa rivi $$$2$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{5 R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 7 & 5\\0 & 1 & -3 & -2\end{array}\right]$$$

Olemme valmiit. Vasemmalla on yksikkömatriisi. Oikealla on käänteismatriisi.

Käänteismatriisi on $$$\left[\begin{array}{cc}7 & 5\\-3 & -2\end{array}\right]$$$A.