$$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}17 & 3\\3 & 9\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right)$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\left(\lambda - 18\right) \left(\lambda - 8\right) = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = 18$$$, $$$\lambda_{2} = 8$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = 18$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\3 & -9\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}17 - \lambda & 3\\3 & 9 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}9 & 3\\3 & 1\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$18$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$8$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{3}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-0.333333333333333\\1\end{array}\right]$$$A.