$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\lambda^{2} - 4$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\lambda^{2} - 4 = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = -2$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\1 & -3\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$-2$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$2$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.