$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2 = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 1 & 2\\3 & \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 4\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2\\3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}\approx -0.372281323269014$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}\approx 5.372281323269014$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A.