$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$:n ominaisarvot ja ominaisvektorit

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\lambda \left(\lambda - 2\right)$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\lambda \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = 0$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1\\1 & -1\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1\\1 & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$2$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$0$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.