Ominaisarvo- ja ominaisvektorilaskin

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\0 & 3\end{array}\right]$$$ ominaisarvot ja ominaisvektorit.

Aloita muodostamalla uusi matriisi vähentämällä annetun matriisin diagonaalialkioista $$$\lambda$$$: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Saadun matriisin determinantti on $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right)$$$ (vaiheista, katso determinanttilaskin).

Ratkaise yhtälö $$$\left(\lambda - 3\right) \left(\lambda - 1\right) = 0$$$.

Juuret ovat $$$\lambda_{1} = 3$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (ratkaisuvaiheista katso yhtälönratkaisija).

Nämä ovat ominaisarvot.

Seuraavaksi etsi ominaisvektorit.

• $$$\lambda = 3$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 2\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\0 & 3 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 2\\0 & 2\end{array}\right]$$$

  Tämän matriisin nollatila on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (vaiheet: katso nollatilan laskin).

  Tämä on ominaisvektori.

Ominaisarvo: $$$3$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Ominaisarvo: $$$1$$$A, kertaluku: $$$1$$$A, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.