Diagonalisoi $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Diagonalisoi $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Etsi ensin ominaisarvot ja ominaisvektorit (vaiheet: katso ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskin).

Ominaisarvo: $$$1$$$, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$.

Ominaisarvo: $$$-2$$$, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$.

Muodosta matriisi $$$P$$$, jonka sarake $$$i$$$ on ominaisvektori numero $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Muodosta diagonaalimatriisi $$$D$$$, jonka rivin $$$i$$$, sarakkeen $$$i$$$ alkio on ominaisarvo numero $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$.

Matriisit $$$P$$$ ja $$$D$$$ ovat sellaiset, että alkuperäinen matriisi $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (vaiheet: katso käänteismatriisilaskin.)

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A