Diagonalisoi $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 2\end{array}\right]$$$

Diagonalisoi $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 2\end{array}\right]$$$.

Etsi ensin ominaisarvot ja ominaisvektorit (vaiheet: katso ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskin).

Ominaisarvo: $$$3$$$, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$.

Ominaisarvo: $$$1$$$, ominaisvektori: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$.

Muodosta matriisi $$$P$$$, jonka sarake $$$i$$$ on ominaisvektori numero $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Muodosta diagonaalimatriisi $$$D$$$, jonka rivin $$$i$$$, sarakkeen $$$i$$$ alkio on ominaisarvo numero $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{cc}3 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$.

Matriisit $$$P$$$ ja $$$D$$$ ovat sellaiset, että alkuperäinen matriisi $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 2\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (vaiheet: katso käänteismatriisilaskin.)

$$$P = \left[\begin{array}{cc}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}3 & 0\\0 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.5 & 0.5\\-0.5 & 0.5\end{array}\right]$$$A