Torsiolaskin

Määritä $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$$$:n kiertymä.

Laske $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$:n derivaatta: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$$$ (vaiheita varten, katso derivointilaskin).

Laske $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$:n derivaatta: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$$$ (vaiheita varten, katso derivointilaskin).

Laske ristitulo: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$$$ (vaiheista ks. ristitulolaskin).

Määritä $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$:n suuruus: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$ (vaiheet: katso vektorin suuruuslaskin).

Laske $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$:n derivaatta: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$$$ (vaiheita varten, katso derivointilaskin).

Laske pistetulo: $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$$$ (vaiheet: ks. pistetulolaskin).

Lopuksi kiertymä on $$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.$$$

Kiertyminen on $$$\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$A.