Lagrangen kertoimet: etsi funktion $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ maksimit ja minimit rajoitusehdolla $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Etsi funktion $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ maksimi- ja minimiarvot rajoitusehdolla $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Huomio! Tämä laskin ei tarkista Lagrangen kertoimien menetelmän soveltamisen ehtoja. Käytä sitä omalla vastuullasi: vastaus saattaa olla virheellinen.

Esitä rajoite $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ muodossa $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Muodosta Lagrangen funktio: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Määritä kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Koska löysimme vain yhden arvon, on vielä tarkistettava, onko se maksimi vai minimi. Toimi näin: valitse toinen piste, joka täyttää rajoitteen/rajoitteet, ja laske funktion arvo siinä. Jos funktion arvo tässä uudessa pisteessä on pienempi kuin funktion arvo alkuperäisessä pisteessä, on alkuperäinen piste maksimi. Vastaavasti, jos funktion arvo uudessa pisteessä on suurempi, on alkuperäinen piste minimi.

Maksimi- ja minimiarvoja ei voida löytää.