|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrangen kertoimet: etsi funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ maksimit ja minimit rajoitusehdolla $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$
Aiheeseen liittyvä laskin: Kriittisten pisteiden, ääriarvojen ja satulapisteiden laskin
Syötteesi
Etsi funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ maksimi- ja minimiarvot rajoitusehdolla $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.
Ratkaisu
Huomio! Tämä laskin ei tarkista Lagrangen kertoimien menetelmän soveltamisen ehtoja. Käytä sitä omalla vastuullasi: vastaus saattaa olla virheellinen.
Esitä rajoite $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ muodossa $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.
Muodosta Lagrangen funktio: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.
Määritä kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$
Järjestelmällä on seuraavat reaaliset ratkaisut: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.
$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
Näin ollen minimiarvo on $$$9$$$ ja maksimiarvo on $$$\frac{729}{4}$$$.
Vastaus
Maksimi
$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A kohdassa $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.
Minimi
$$$9$$$A kohdassa $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.