|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lagrangen kertoimet: etsi funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ maksimit ja minimit rajoitusehdolla $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Aiheeseen liittyvä laskin: Kriittisten pisteiden, ääriarvojen ja satulapisteiden laskin
Syötteesi
Etsi funktion $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ maksimi- ja minimiarvot rajoitusehdolla $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Ratkaisu
Huomio! Tämä laskin ei tarkista Lagrangen kertoimien menetelmän soveltamisen ehtoja. Käytä sitä omalla vastuullasi: vastaus saattaa olla virheellinen.
Esitä rajoite $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ muodossa $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Muodosta Lagrangen funktio: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Määritä kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).
Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Järjestelmällä on seuraava reaaliratkaisu: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Tarkastellaan pistettä $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Koska $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ on suurempi kuin $$$64$$$, voidaan todeta, että $$$64$$$ on minimi.
Vastaus
Maksimi
Ei maksimiarvoa.
Minimi
$$$64$$$A kohdassa $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.