Funktion $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ kriittiset pisteet, ääriarvot ja satulapisteet

Etsi ja luokittele funktion $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ kriittiset pisteet.

Ensimmäinen askel on löytää kaikki ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Seuraavaksi ratkaise yhtälöryhmä $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ tai $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$.

Järjestelmällä on seuraava reaaliratkaisu: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Yritetään nyt luokitella se.

Määritä kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (vaiheet: ks. osittaisderivaatta-laskin).

Määrittele lauseke $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Koska $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ on pienempi kuin $$$0$$$, voidaan päätellä, että $$$\left(0, 0\right)$$$ on satulapiste.

Paikalliset maksimit

Ei paikallisia maksimeja.

Paikalliset minimit

Ei paikallisia minimejä.

Satulapisteet

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A