Keskipistesäännön laskin funktiolle
Approksimoi integraali (annettuna funktiona) keskipistesäännön avulla askel askeleelta
Verkkolaskin, joka approksimoi määrätyn integraalin keskipistesäännöllä (mid-ordinate) ja näyttää välivaiheet.
Aiheeseen liittyvä laskin: Keskipistesäännön laskin taulukkoa varten
Syötteesi
Approksimoi integraali $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ $$$n = 4$$$:llä keskipistesäännön avulla.
Ratkaisu
Keskipistesääntö (tunnetaan myös nimellä keskipisteapproksimaatio) käyttää osavälin keskipistettä approksimoivan suorakulmion korkeuden laskemiseen:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
missä $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Saamme, että $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ ja $$$n = 4$$$.
Siispä $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Jaa väli $$$\left[1, 3\right]$$$ $$$n = 4$$$ osaväliin, joiden pituus on $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$, seuraavin päätepistein: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Laske nyt funktion arvot osavälien keskipisteissä.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Lopuksi summaa yllä olevat arvot ja kerro luvulla $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Vastaus
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A