Funktion $$$\frac{x^{2}}{1 - x^{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}\, dx$$$.

Koska osoittajan aste ei ole pienempi kuin nimittäjän aste, suorita polynomien jakokulma (vaiheet voidaan nähdä »):

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x^{2}}\right)d x}}}$$

Integroi termi kerrallaan:

$${\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{\frac{1}{1 - x^{2}} d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$\int{\frac{1}{1 - x^{2}} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{1}{1 - x^{2}} d x} - {\color{red}{x}}$$

Suorita osamurtokehittely (vaiheet voidaan nähdä kohdassa »):

$$- x + {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - x^{2}} d x}}} = - x + {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)d x}}}$$

Integroi termi kerrallaan:

$$- x + {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)d x}}} = - x + {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + \int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x}\right)}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$$$:

$$- x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(x + 1\right)} d x}}} = - x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}{2}\right)}}$$

Olkoon $$$u=x + 1$$$.

Tällöin $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$- x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}}}{2} = - x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - x - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Muista, että $$$u=x + 1$$$:

$$- x + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x} = - x + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$:

$$- x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(x - 1\right)} d x}}} = - x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}{2}\right)}}$$

Olkoon $$$u=x - 1$$$.

Tällöin $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$$- x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}}}{2} = - x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

Muista, että $$$u=x - 1$$$:

$$- x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = - x + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} d x} = - x - \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{x^{2}}{1 - x^{2}} d x} = - x - \frac{\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x^{2}}{1 - x^{2}}\, dx = \left(- x - \frac{\ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)}{2} + \frac{\ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A