Integraali $$$e^{a x}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{a x}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=a x$$$.

Tällöin $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{a}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{a}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

Muista, että $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A