Funktion $$$e^{- 2 t}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{- 2 t}\, dt$$$.

Olkoon $$$u=- 2 t$$$.

Tällöin $$$du=\left(- 2 t\right)^{\prime }dt = - 2 dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dt = - \frac{du}{2}$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{e^{- 2 t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=- \frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

Muista, että $$$u=- 2 t$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- 2 t\right)}}}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{- 2 t} d t} = - \frac{e^{- 2 t}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{- 2 t} d t} = - \frac{e^{- 2 t}}{2}+C$$

$$$\int e^{- 2 t}\, dt = - \frac{e^{- 2 t}}{2} + C$$$A