Funktion $$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{23}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{23}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{23}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{23} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan{\left(x \right)} d x}}{23}\right)}}$$

Kirjoita tangentti uudelleen muotoon $$$\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan{\left(x \right)} d x}}}}{23} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}}{23}$$

Olkoon $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} d x}}}}{23} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{23}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{23} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}}{23}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{23} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{23}$$

Muista, että $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{23} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}}\right| \right)}}{23}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{23} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}}{23}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{\tan{\left(x \right)}}{23} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right| \right)}}{23}+C$$

$$$\int \frac{\tan{\left(x \right)}}{23}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|\right)}{23} + C$$$A