Funktion $$$\cos{\left(x e^{3} \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=x e^{3}$$$.

Tällöin $$$du=\left(x e^{3}\right)^{\prime }dx = e^{3} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{e^{3}}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=e^{-3}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{e^{3}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{e^{3}}}}$$

Kosinin integraali on $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{e^{3}} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{e^{3}}$$

Muista, että $$$u=x e^{3}$$$:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{e^{3}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{x e^{3}}} \right)}}{e^{3}}$$

Näin ollen,

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\cos{\left(x e^{3} \right)} d x} = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}}+C$$

$$$\int \cos{\left(x e^{3} \right)}\, dx = \frac{\sin{\left(x e^{3} \right)}}{e^{3}} + C$$$A