Funktion $$$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx$$$.

Täydennä neliöksi (vaiheet näkyvät »): $$$x^{2} + 4 x + 5 = \left(x + 2\right)^{2} + 1$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} d x}}}$$

Olkoon $$$u=x + 2$$$.

Tällöin $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Muista, että $$$u=x + 2$$$:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(x + 2\right)}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} d x} = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}\, dx = \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)} + C$$$A