Funktion $$$\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\sqrt[3]{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}} = 3 du$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 u}{u^{2} + 1} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=3$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \frac{u}{u^{2} + 1}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3 u}{u^{2} + 1} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}$$

Olkoon $$$v=u^{2} + 1$$$.

Tällöin $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$u du = \frac{dv}{2}$$$.

Näin ollen,

$$3 {\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

Funktion $$$\frac{1}{v}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

Muista, että $$$v=u^{2} + 1$$$:

$$\frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Muista, että $$$u=\sqrt[3]{x}$$$:

$$\frac{3 \ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{2} = \frac{3 \ln{\left(1 + {\color{red}{\sqrt[3]{x}}}^{2} \right)}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x} = \frac{3 \ln{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{\sqrt[3]{x} + x} d x} = \frac{3 \ln{\left(x^{\frac{2}{3}} + 1 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x} + x}\, dx = \frac{3 \ln\left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)}{2} + C$$$A