Funktion $$$\frac{1}{x + 1}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{x + 1}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=x + 1$$$.

Tällöin $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=x + 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{x + 1} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{x + 1} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x + 1}\, dx = \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right) + C$$$A