Funktion $$$\frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}}$$

Tällä integraalilla (Logaritminen integraali) ei ole suljettua muotoa:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\ln{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{li}{\left(u \right)}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$\operatorname{li}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{li}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{x^{2} \ln{\left(x \right)}} d x} = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} \ln\left(x\right)}\, dx = \operatorname{li}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A