Funktion $$$\ln\left(z^{2}\right)$$$ integraali

Määritä $$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz$$$.

Syöte kirjoitetaan muotoon: $$$\int{\ln{\left(z^{2} \right)} d z}=\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(z \right)}\, dz = c \int f{\left(z \right)}\, dz$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(z \right)} = \ln{\left(z \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(z \right)} d z}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(z \right)} d z}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{\ln{\left(z \right)} d z}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=\ln{\left(z \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=dz$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(z \right)}\right)^{\prime }dz=\frac{dz}{z}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{1 d z}=z$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Näin ollen,

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(z \right)} d z}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(z \right)} \cdot z-\int{z \cdot \frac{1}{z} d z}\right)}}=2 {\color{red}{\left(z \ln{\left(z \right)} - \int{1 d z}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dz = c z$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d z}}} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 {\color{red}{z}}$$

Näin ollen,

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \ln{\left(z \right)} - 2 z$$

Sievennä:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{2 \ln{\left(z \right)} d z} = 2 z \left(\ln{\left(z \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(z^{2}\right)\, dz = 2 z \left(\ln\left(z\right) - 1\right) + C$$$A