Integraali $$$y \sin{\left(2 x \right)}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int y \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=y$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{y \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{y \int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}$$

Olkoon $$$u=2 x$$$.

Tällöin $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$$y {\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}} = y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$y {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = y {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Sinifunktion integraali on $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{y {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{y {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

Muista, että $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{y \cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{y \cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{y \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{y \cos{\left(2 x \right)}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{y \sin{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{y \cos{\left(2 x \right)}}{2}+C$$

$$$\int y \sin{\left(2 x \right)}\, dx = - \frac{y \cos{\left(2 x \right)}}{2} + C$$$A