Integraali $$$x y$$$:stä muuttujan $$$y$$$ suhteen

Määritä $$$\int x y\, dy$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ käyttäen $$$c=x$$$ ja $$$f{\left(y \right)} = y$$$:

$${\color{red}{\int{x y d y}}} = {\color{red}{x \int{y d y}}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=1$$$:

$$x {\color{red}{\int{y d y}}}=x {\color{red}{\frac{y^{1 + 1}}{1 + 1}}}=x {\color{red}{\left(\frac{y^{2}}{2}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{x y d y} = \frac{x y^{2}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{x y d y} = \frac{x y^{2}}{2}+C$$

$$$\int x y\, dy = \frac{x y^{2}}{2} + C$$$A