Integraali $$$\frac{x^{a}}{x^{2}}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvä laskin: Määrättyjen ja epäoleellisten integraalien laskin
Syötteesi
Määritä $$$\int \frac{x^{a}}{x^{2}}\, dx$$$.
Ratkaisu
Syöte kirjoitetaan muotoon: $$$\int{\frac{x^{a}}{x^{2}} d x}=\int{x^{a - 2} d x}$$$.
Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=a - 2$$$:
$${\color{red}{\int{x^{a - 2} d x}}}={\color{red}{\frac{x^{\left(a - 2\right) + 1}}{\left(a - 2\right) + 1}}}={\color{red}{\frac{x^{a - 1}}{a - 1}}}$$
Näin ollen,
$$\int{x^{a - 2} d x} = \frac{x^{a - 1}}{a - 1}$$
Lisää integrointivakio:
$$\int{x^{a - 2} d x} = \frac{x^{a - 1}}{a - 1}+C$$
Vastaus
$$$\int \frac{x^{a}}{x^{2}}\, dx = \frac{x^{a - 1}}{a - 1} + C$$$A