Funktion $$$x^{3} - x$$$ integraali

Määritä $$$\int \left(x^{3} - x\right)\, dx$$$.

Integroi termi kerrallaan:

$${\color{red}{\int{\left(x^{3} - x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{x d x} + \int{x^{3} d x}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=3$$$:

$$- \int{x d x} + {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \int{x d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \int{x d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=1$$$:

$$\frac{x^{4}}{4} - {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{4}}{4} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{4}}{4} - {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{\left(x^{3} - x\right)d x} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}$$

Sievennä:

$$\int{\left(x^{3} - x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x^{2} - 2\right)}{4}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\left(x^{3} - x\right)d x} = \frac{x^{2} \left(x^{2} - 2\right)}{4}+C$$

$$$\int \left(x^{3} - x\right)\, dx = \frac{x^{2} \left(x^{2} - 2\right)}{4} + C$$$A