Funktion $$$\frac{x e^{x^{2}}}{3}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{x e^{x^{2}}}{3}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=x^{2}$$$.

Tällöin $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$x dx = \frac{du}{2}$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{6}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{6} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{6}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{6}$$

Muista, että $$$u=x^{2}$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{6} = \frac{e^{{\color{red}{x^{2}}}}}{6}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x} = \frac{e^{x^{2}}}{6}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{x e^{x^{2}}}{3} d x} = \frac{e^{x^{2}}}{6}+C$$

$$$\int \frac{x e^{x^{2}}}{3}\, dx = \frac{e^{x^{2}}}{6} + C$$$A