Funktion $$$\sin{\left(2 \theta \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta$$$.

Olkoon $$$u=2 \theta$$$.

Tällöin $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$d\theta = \frac{du}{2}$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

Sinifunktion integraali on $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{2}$$

Muista, että $$$u=2 \theta$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{2}$$

Näin ollen,

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\sin{\left(2 \theta \right)} d \theta} = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(2 \theta \right)}\, d\theta = - \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2} + C$$$A