Integraali $$$\frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{t}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x - 3 \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(5 x - 3 \right)} d x}}{t}}}$$

Olkoon $$$u=5 x - 3$$$.

Tällöin $$$du=\left(5 x - 3\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{5}$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(5 x - 3 \right)} d x}}}}{t} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{t}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{5}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{t} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}}{t}$$

Sinifunktion integraali on $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{5 t} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{5 t}$$

Muista, että $$$u=5 x - 3$$$:

$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{5 t} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(5 x - 3\right)}} \right)}}{5 t}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x - 3 \right)}}{5 t}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x - 3 \right)}}{5 t}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(5 x - 3 \right)}}{t}\, dx = - \frac{\cos{\left(5 x - 3 \right)}}{5 t} + C$$$A