Funktion $$$\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int \sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{\pi x}{3}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{\pi x}{3}\right)^{\prime }dx = \frac{\pi}{3} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{3 du}{\pi}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 \sec^{2}{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{3}{\pi}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3 \sec^{2}{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}{\pi}\right)}}$$

Funktion $$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$ integraali on $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{\pi} = \frac{3 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{\pi}$$

Muista, että $$$u=\frac{\pi x}{3}$$$:

$$\frac{3 \tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{\pi} = \frac{3 \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{\pi x}{3}\right)}} \right)}}{\pi}$$

Näin ollen,

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} d x} = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi}+C$$

$$$\int \sec^{2}{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\, dx = \frac{3 \tan{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{\pi} + C$$$A