Funktion $$$\ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)$$$ integraali

Määritä $$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = 2 du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=2$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Tällöin $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali muuttuu muotoon

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, du = c u$$$ käyttäen $$$c=1$$$:

$$2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{u}}$$

Muista, että $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$:

$$- 2 {\color{red}{u}} + 2 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

Sievennä:

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

Lisää integraatiovakio (ja poista lausekkeesta vakio):

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx = \left(- x + \left(x - 2\right) \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\right) + C$$$A