Funktion $$$\ln\left(6 x^{4}\right)$$$ integraali

Määritä $$$\int \ln\left(6 x^{4}\right)\, dx$$$.

Integraalin $$$\int{\ln{\left(6 x^{4} \right)} d x}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=\ln{\left(6 x^{4} \right)}$$$ ja $$$\operatorname{dv}=dx$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(6 x^{4} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{4}{x} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(6 x^{4} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(6 x^{4} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{4}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(6 x^{4} \right)} - \int{4 d x}\right)}}$$

Sovella vakiosääntöä $$$\int c\, dx = c x$$$ käyttäen $$$c=4$$$:

$$x \ln{\left(6 x^{4} \right)} - {\color{red}{\int{4 d x}}} = x \ln{\left(6 x^{4} \right)} - {\color{red}{\left(4 x\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{\ln{\left(6 x^{4} \right)} d x} = x \ln{\left(6 x^{4} \right)} - 4 x$$

Sievennä:

$$\int{\ln{\left(6 x^{4} \right)} d x} = x \left(4 \ln{\left(x \right)} - 4 + \ln{\left(6 \right)}\right)$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\ln{\left(6 x^{4} \right)} d x} = x \left(4 \ln{\left(x \right)} - 4 + \ln{\left(6 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(6 x^{4}\right)\, dx = x \left(4 \ln\left(x\right) - 4 + \ln\left(6\right)\right) + C$$$A