Integraali $$$f \sqrt{x}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int f \sqrt{x}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=f$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$:

$${\color{red}{\int{f \sqrt{x} d x}}} = {\color{red}{f \int{\sqrt{x} d x}}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=\frac{1}{2}$$$:

$$f {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}=f {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}=f {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=f {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{f \sqrt{x} d x} = \frac{2 f x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{f \sqrt{x} d x} = \frac{2 f x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int f \sqrt{x}\, dx = \frac{2 f x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A