Funktion $$$\frac{x e^{x}}{e^{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{x e^{x}}{e^{2}}\, dx$$$.

Syöte kirjoitetaan muotoon: $$$\int{\frac{x e^{x}}{e^{2}} d x}=\int{x e^{x - 2} d x}$$$.

Integraalin $$$\int{x e^{x - 2} d x}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=x$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{x - 2} dx$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{x - 2} d x}=e^{x - 2}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{x e^{x - 2} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x - 2}-\int{e^{x - 2} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x - 2} - \int{e^{x - 2} d x}\right)}}$$

Olkoon $$$u=x - 2$$$.

Tällöin $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$$x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{x - 2} d x}}} = x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x e^{x - 2} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x e^{x - 2} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=x - 2$$$:

$$x e^{x - 2} - e^{{\color{red}{u}}} = x e^{x - 2} - e^{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}$$

Näin ollen,

$$\int{x e^{x - 2} d x} = x e^{x - 2} - e^{x - 2}$$

Sievennä:

$$\int{x e^{x - 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x - 2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{x e^{x - 2} d x} = \left(x - 1\right) e^{x - 2}+C$$

$$$\int \frac{x e^{x}}{e^{2}}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x - 2} + C$$$A