Funktion $$$x e^{5} \cos{\left(x \right)}$$$ integraali

Määritä $$$\int x e^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=e^{5}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{5} \int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

Integraalin $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{u}=x$$$ ja $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$.

Tällöin $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Integraali muuttuu muotoon

$$e^{5} {\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Sinifunktion integraali on $$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$:

$$e^{5} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}}\right) = e^{5} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}\right)$$

Näin ollen,

$$\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}+C$$

$$$\int x e^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5} + C$$$A