Integraali $$$e^{- t \left(a + s\right)}$$$:stä muuttujan $$$t$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt$$$.

Olkoon $$$u=- t \left(a + s\right)$$$.

Tällöin $$$du=\left(- t \left(a + s\right)\right)^{\prime }dt = - (a + s) dt$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dt = - \frac{du}{a + s}$$$.

Näin ollen,

$${\color{red}{\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{- a - s}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a - s}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a - s} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a - s}$$

Muista, että $$$u=- t \left(a + s\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a - s} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- t \left(a + s\right)\right)}}}}{- a - s}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{- a - s}$$

Sievennä:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}+C$$

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s} + C$$$A