Integraali $$$e^{\frac{y}{x}}$$$:stä muuttujan $$$y$$$ suhteen

Määritä $$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$.

Olkoon $$$u=\frac{y}{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dy = x du$$$.

Siis,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=x$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{y}{x}$$$:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A